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大星彩票35选七走势图,备战2020年高考文数一轮复习第二节 第3课时 深化提能——函数性质的综合应用_高考_高中教育_教育专区

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大星彩票35选七走势图,备战2020年高考文数一轮复习第二节 第3课时 深化提能——函数性质的综合应用_高考_高中教育_教育专区。第 3 课时 深化提能——函数性质的综合应用 函数性质的综合一直是高考命题的重点和热点,难度中等,常出现“多而小”的命题思路,即考点多,但每 个难度都不大,常通过各性质的协调统一来解决问题.函数新定义


第 3 课时 深化提能——函数性质的综合应用 函数性质的综合一直是高考命题的重点和热点,难度中等,常出现“多而小”的命题思路,即考点多,但每 个难度都不大,常通过各性质的协调统一来解决问题.函数新定义下的性质问题最近几年也是高考命题的热 点内容,多通过新定义的背景考查函数性质应用. 函数性质的交汇应用问题 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶 性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题 形式出现. 考法一 单调性与奇偶性相结合 [例 1] (2019·湖南祁阳模拟)已知偶函数 f( x+π2 ),当 x∈??-π2,π2??时,f(x)=x 1 3 +sin x,设 a=f(1),b=f(2), c=f(3),则( ) A.a<b<c C.c<b<a B.b<c<a D.c<a<b [解析] ∵当 x∈??-π2,π2??时,y=sin x 单调递增,y=x 1 3 也为增函数,∴函数 f(x)=x 1 3 +sin x 也为增函数. ∵函数 f??x+π2??为偶函数,∴f??-x+π2??=f??x+π2??,f(x)的图象关于 x=π2对称,∴f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3), ∵0<π-3<1<π-2<π2,∴f(π-3)<f(1)<f(π-2),即 c<a<b,故选 D. [答案] D 考法二 奇偶性与周期性相结合 [例 2] 已知函数 y=f(x),满足 y=f(-x)和 y=f(x+2)是偶函数,且 f(1)=π3,设 F(x)=f(x)+f(-x),则 F(11) =( ) π 2π A.3 B. 3 C.π 4π D. 3 [解析] 由 y=f(-x)和 y=f(x+2)是偶函数知 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故 f(x)=f(x+4), ∴T=4,则 F(11)=f(11)+f(-11)=2f(11)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=23π.故选 B. [答案] B 考法三 单调性、奇偶性与周期性的综合 [例 3] 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f??x+32??=f(x),当 x∈??0,12??时,f(x)=log 1 (1-x),则 f(x)在区间??1,32?? 2 内是( ) A.减函数且 f(x)>0 B.减函数且 f(x)<0 1 C.增函数且 f(x)>0 D.增函数且 f(x)<0 [解析] 当 x∈??0,12??时,由 f(x)=log 1 (1-x)可知,f(x)单调递增且 f(x)>0,又函数 f(x)为奇函数,所以 f(x) 2 在区间??-21,0??上也单调递增,且 f(x)<0.由 f??x+32??=f(x)知,函数的周期为32,所以在区间??1,32??上,函数 f(x) 单调递增且 f(x)<0. [答案] D [方法技巧] 对于函数性质结合的题目,函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称 关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇 偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. [集训冲关] 1.[考法一]下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的函数是( ) A.y=x2 B.y=2|x| C.y=log2|1x| D.y=cos x 解析:选 C A 选项,y=x2 是偶函数,在(-∞,0)上单调递减,不合题意;B 选项,y=2|x|是偶函数,在(- ∞,0)上单调递减,不合题意;C 选项,y=log2|1x|是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,符合题意;D 选项,y =cos x 是偶函数,在(-∞,0)上不具有单调性,不合题意.故选 C. 2.[考法二]设 e 是自然对数的底数,函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,且当 0<x<2 时,f(x)=-ln x,则 e f ?7? ?? 3 ?? 的 值为( ) 3 3 A.5 B.4 4 5 C.3 D.3 ( ) 解析:选 D 因为函数以 4 为周期,所以 f??73??=f 73-4 =f??-53??=-f??53??=ln53,所以 e f ? ?? 7 3 ? ?? =e ln 5 3 =53.故选 D. 3.[考法三]已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上单调递减,则 f(x)在[1,3] 上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 解析:选 D 根据题意,∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴函数 f(x)的周期是 2.又∵f(x)在定 义域 R 上是偶函数,在[-1,0]上是减函数,∴函数 f(x)在[0,1]上是增函数,∴函数 f(x)在[1,2]上是减函数, 在[2,3]上是增函数,∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数,故选 D. 函数新定义下的性质问题 所谓“新定义”函数,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数.函数新 2 定义问题的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等, 然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题. [典例] (2019·洛阳统考)若函数 f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”: (1)?x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0; (2)?x1,x2∈R,且 x1≠x2,都有f?xx1?1- -fx?2x2?<0. ①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln( x2+1+x). 以上四个函数中,“优美函数”的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由条件(1),得 f(x)是奇函数,由条件(2),得 f(x)是 R 上的减函数. 对于①,f(x)=sin x 在 R 上不单调,故不是“优美函数”; 对于②,f(x)=-2x3 既是奇函数,又在 R 上单调递减,故是“优美函数”; 对于③,f(x)=1-x 不是奇函数,故不是“优美函数”; 对于④,易知 f(x)在 R 上单调递增,故不是“优美函数”. 故选 B. [答案] B [方法技巧] 深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件,将定义、性质等与所求之间建立联系是 解题的关键.如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立,那么通过合理赋值可以得到特殊 函数值甚至是函数解析式,进而解决问题. [针对训练] 1.在实数集 R 上定义一种运算“★”,对于任意给定的 a,b∈R,a★b 为唯一确定的实数,且具有下列三 条性质: (1)a★b=b★a;(2)a★0=a;(3)(a★b)★c=c★(ab)+(a★c)+(c★b)-2c. 关于函数 f(x)=x★1x,有如下说法: ①函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值为 3; ②函数 f(x)为偶函数; ③函数 f(x)为奇函数; ④函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞); ⑤函数 f(x)不是周期函数. 其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C 对于新运算“★”的性质(3),令 c=0,则(a★b)★0=0★(ab)+(a★0)+(0★b)=ab+a+b,即 a 3 ★b=ab+a+b,∴f(x)=x★1x=1+x+1x.当 x>0 时,f(x)=1+x+1x≥1+2 x·1x=3,当且仅当 x=1x,即 x= 1 时取等号,∴函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值为 3,故①正确;函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(1)=1+1+1=3,f(-1)=1-1-1=-1,∴f(-1)≠-f(1)且 f(-1)≠f(1),∴函数 f(x)为非奇非偶函数, 故②③错误;根据函数的单调性,知函数 f(x)=1+x+1x的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),故④正确; 由④知,函数 f(x)=1+x+1x不是周期函数,故⑤正确.综上所述,正确说法的个数为 3,故选 C. 2.如果定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意的 x1≠x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称 f(x)为“H 函数”,给出下列函数: ①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sin x-cos x);③y=1-ex;④f(x)=?????l0n?xx<?1x?≥;1?, ⑤y=x2+x 1. 其中是“H 函数”的是________.(写出所有满足条件的函数的序号) 解析:因为 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),所以 f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,即[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)≥0, 分析可得,若函数 f(x)为“H 函数”,则函数 f(x)为增函数或常数函数.对于①,y=-x3+x+1,则 y′=- 3x2+1,所以 y=-x3+x+1 既不是 R 上的增函数也不是常函数,故其不是“H 函数”;对于②,y=3x-2(sin x-cos x),则 y′=3-2(cos x+sin x)=3-2 2sin( x+π4 )>0,所以 y=3x-2(sin x-cos x)是 R 上的增函数, 故其是“H 函数”;对于③,y=1-ex 是 R 上的减函数,故其不是“H 函数”;对于④,f(x)=?????l0n?xx<?1x?≥,1?, 当 x<1 时,是常数函数,当 x≥1 时,是增函数,且当 x=1 时,ln x=0,故其是“H 函数”;对于⑤,y=x2+x 1, 当 x≠0 时,y=x+1 1x,不是 R 上的增函数也不是常数函数,故其不是“H 函数”.所以满足条件的函数的序 号是②④. 答案:②④ [课时跟踪检测] 1.(2019·莱芜期中)下列函数中,既是奇函数又是区间(0,+∞)上的减函数的是( ) A.y= x B.y=x-1 C.y=x3 D.y=2-x 解析:选 B y= x不是奇函数;y=x-1 既是奇函数又是区间(0,+∞)上的减函数;y=x3 既是奇函数又是区 间(0,+∞)上的增函数;y=2-x 不是奇函数.故选 B. 2.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f??-25??=( ) A.-12 B.-14 C.14 D.12 解析:选 A ∵f(x+2)=f(x),∴函数 f(x)的周期为 2,∴f??-25??=f??-12??.又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f??-21?? 4 =-f??12??.∵当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),∴f??12??=2×12×??1-12??=12,故 f??-52??=f??-21??=-f??12??=-12. 3.已知函数 f(x)在[0,4]上是增函数,且函数 y=f(x+4)是偶函数,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(4)<f(5) B.f(2)<f(5)<f(4) C.f(5)<f(4)<f(2) D.f(4)<f(2)<f(5) 解析:选 B 因为函数 y=f(x+4)是偶函数,所以函数 y=f(x+4)的图象关于直线 x=0 对称,所以函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=4 对称,所以 f(5)=f(3),又函数 y=f(x)在[0,4]上是增函数,所以 f(2)<f(3)<f(4),即 f(2)<f(5)<f(4).故选 B. 4.(2019·山东省实验中学诊断)已知奇函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈(0,2]时,f(x)=x2+1,且函数 f(x+1)为 偶函数,则 f(2 018)+f(-2 019)的值为( ) A.7 B.2 C.-7 D.3 解析:选 A ∵f(x)为 R 上的奇函数,f(x+1)为偶函数, ∴f(x)=f(x-1+1)=f(1-x+1)=f(-x+2)=-f(x-2)=f(x-4),∴f(x)是周期为 4 的周期函数.∴f(2 018)+ f(-2 019)=f(2)+f(1)=5+2=7.故选 A. 5.已知 f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且 f(x)是减函数,如果 f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数 m 的取值 范围是( ) A.??1,53?? B.??-∞,53 ?? C.(1,3) D.??53,+∞?? 解析:选 A ∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,∴-1<x<1,f(-x)=-f(x),∴f(m-2)+f(2m-3)>0 可转化 ??-1<m-2<1, 为 f(m-2)>-f(2m-3),即 f(m-2)>f(-2m+3).∵f(x)是减函数,∴?-1<2m-3<1, ??m-2<-2m+3, ∴1<m<53.故选 A 6.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且当 x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则下列不等 式正确的是( ) A.f(log27)<f(-5)<f(6) B.f(log27)<f(6)<f(-5) C.f(-5)<f(log27)<f(6) D.f(-5)<f(6)<f(log27) 解析:选 C 因为奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,所以 f(1+x)=f(1-x),f(-x)=-f(x),所以 f(2+ x)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 f(-5)=f(-1)= -f(1)=-1,f(6)=f(2)=f(0)=0.于是,结合题意可画出函数 f(x)在[-2,4]上的大致图象,如图所示.又 2<log27<3,所以结合图象可知-1<f(log27)<0,故 f(-5)<f(log27)<f(6),故选 C. 5 7.记 max{x,y}=?????xy,,xx<≥y,y, 若 f(x),g(x)均是定义在实数集 R 上的函数,定义函数 h(x)=max{f(x),g(x)}, 则下列命题正确的是( ) A.若 f(x),g(x)都是单调函数,则 h(x)也是单调函数 B.若 f(x),g(x)都是奇函数,则 h(x)也是奇函数 C.若 f(x),g(x)都是偶函数,则 h(x)也是偶函数 D.若 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 h(x)既不是奇函数,也不是偶函数 解析:选 C 对于 A,如 f(x)=x,g(x)=-2x 都是 R 上的单调函数,而 h(x)=?????-x,2xx,≥x0, <0 不是定义域 R 上 的单调函数,故命题 A 错误; 对于 B,如 f(x)=x,g(x)=-2x 都是 R 上的奇函数,而 h(x)=?????-x,2xx,≥x0, <0 不是定义域 R 上的奇函数,故命 题 B 错误; 对于 C,当 f(x),g(x)都是定义域 R 上的偶函数时,h(x)=max{f(x),g(x)}也是定义域 R 上的偶函数,命题 C 正确; 对于 D,如 f(x)=sin x 是定义域 R 上的奇函数,g(x)=x2+2 是定义域 R 上的偶函数,而 h(x)=g(x)=x2+2 是定义域 R 上的偶函数,命题 D 错误. 8.(2019·合肥一模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数 f(x) 在[1,2]上的解析式是________________. 解析:令 x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得 f(x)=f(-x)=log2(-x+1), 令 x∈[1,2],则 x-2∈[-1,0],故 f(x)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x). 故函数 f(x)在[1,2]上的解析式是 f(x)=log2(3-x). 答案:f(x)=log2(3-x) 9.(2019·湖北孝感八校期末)已知函数 f(x)=ex-e1x-2sin x,其中 e 为自然对数的底数,若 f(2a2)+f(a-3)+f(0)<0, 则实数 a 的取值范围为________. 解析:因为 f(0)=0,f′(x)=ex+e-x-2cos x,ex+e-x≥2,而 2cos x≤2,所以 f′(x)≥0,所以函数 y=f(x) 是单调递增函数.又 f(-x)=-f(x),即函数是奇函数,∴原不等式可化为 f(2a2)<-f(a-3)=f(3-a),则 2a2<3 -a,∴2a2+a-3<0,解得-32<a<1. 答案:??-23,1?? 10.设函数 f(x)=ln(1+|x|)-1+1x2,则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值范围为________. 6 解析:由已知得函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|), 由 f(x)>f(2x-1),可得 f(|x|)>f(|2x-1|). 当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)-1+1x2,因为 y=ln(1+x)与 y=-1+1x2在(0,+∞)上都单调递增,所以函数 f(x)在 (0,+∞)上单调递增. 由 f(|x|)>f(|2x-1|),可得|x|>|2x-1|, 两边平方可得 x2>(2x-1)2,整理得 3x2-4x+1<0,解得13<x<1.所以 x 的取值范围为??13,1??. 答案:??13,1?? 11.已知函数 y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数. (1)求证:对任意 x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0; (2)若 f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数 a 的取值范围. 解:(1)证明:若 x1+x2=0,显然原不等式成立. 若 x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1, 因为 f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数, 所以 f(x1)>f(-x2)=-f(x2), 所以 f(x1)+f(x2)>0. 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0 成立. 若 x1+x2>0,则-1≤-x2<x1≤1, 同理可证 f(x1)+f(x2)<0. 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0 成立. 综上所述,对任意 x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0 恒成立. (2)因为 f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由 f(x)在定义域[-1,1]上是减函数, ??-1≤1-a2≤1, 得?-1≤a-1≤1, ??1-a2>a-1, ??0≤a2≤2, 即?0≤a≤2, ??a2+a-2<0, 解得 0≤a<1. 故所求实数 a 的取值范围是[0,1). 7
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