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高考数学大一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和课件理新人教版_高考_高中教育_教育专区

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高考数学大一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和课件理新人教版_高考_高中教育_教育专区。第3讲 等比数列及其前n项和 最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公 式与前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比 关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列


第3讲 等比数列及其前n项和 最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公 式与前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比 关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列与 指数函数的关系. 1.等比数列的概念 知识梳理 (1)如果一个数列从第_2__项起,每一项与它的前一项的比等 于_同__一__个__非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常 数叫做等比数列的_公__比__,公比通常用字母 q(q≠0)表示. 数学语言表达式:aan-n 1=_q__ (n≥2,q 为非零常数),或aan+n 1= q(n∈N*,q 为非零常数). (2)如果三个数 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的 _等__比__中__项__,其中 G=__±__a__b_. 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为 an=__a_1_q_n-__1 _; 通项公式的推广:an=amqn-m. (2)等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn=_a_1_(__11_--__qq_n_)__=a11--aqnq. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=_a_m_·a_n_. (2)等比数列{an}的单调性: 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是_递__增_数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是_递__减_数列; 当q=1时,数列{an}是_常__数__列___. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m, ak+2m,…仍是等比数列,公比为_q_m__. (4)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为_q_n__. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)与等差数列类似,等比数列的各项可以是任意一个实 数.( ) (2)公比 q 是任意一个常数,它可以是任意实数.( ) (3)三个数 a,b,c 成等比数列的充要条件是 b2=ac.( ) (4)数列{an}的通项公式是 an=an,则其前 n 项和为 Sn= a(1-an) 1-a .( ) (5)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数 列.( ) 解析 (1)在等比数列中,an≠0. (2)在等比数列中,q≠0. (3)若 a=0,b=0,c=0 满足 b2=ac, 但 a,b,c 不成等比数列. (4)当 a=1 时,Sn=na. (5)若 a1=1,q=-1,则 S4=0,S8-S4=0, S12-S8=0,不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2.(2017·太原模拟)在单调递减的等比数列{an}中,若 a3=1, a2+a4=52,则 a1=( ) A.2 B.4 C. 2 D.2 2 解析 在等比数列{an}中,a2a4=a23=1,又 a2+a4=52, 数列{an}为递减数列,所以 a2=2,a4=12,所以 q2=aa42=14, 所以 q=12,a1=aq2=4. 答案 B 3.(2017·湖北省七市考试)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+ a4a7=18,若a1am=9,则m的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9, ∴m=10,故选C. 答案 C 4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的 前n项和.若Sn=126,则n=________. 解析 由 an+1=2an,知数列{an}是以 a1=2 为首项, 公比 q=2 的等比数列,由 Sn=2(11--22n)=126,解得 n=6. 答案 6 5.(2015·广东卷)若 a,b,c 三个正数成等比数列,其中 a=5+ 2 6,c=5-2 6,则 b 的值为________. 解析 ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 即 b2=(5+2 6)(5-2 6)=1,又 b>0,∴b=1. 答案 1 考点一 等比数列基本量的运算 【例 1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项 和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( ) A.125 B.341 C.343 D.127 (2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足 a1+a3=10,a2+a4=5, 则 a1a2…an 的最大值为________. 解析 ??a1q·a1q3=1, (1)显然公比 q≠1,由题意得???a1(11--qq3)=7, ??a1=4, ??a1=9, 解得???q=12 或???q=-13 (舍去), ∴S5=a1(11--qq5)=4???11--12215???=341. (2)设等比数列{an}的公比为 q, ∴?????aa12++aa34==150,??????aa11+q+a1aq12q=3=105,,解得?????qa=1=128,, n2 7n ∴a1a2…an=an1q1+2+…+(n-1)=2- 2 + 2 . 记 t=-n22+72n=-12(n2-7n),结合 n∈N*,可知 n=3 或 4 时,t 有最大值 6.又 y=2t 为增函数.所以 a1a2…an 的最大值为 64. 答案 (1)B (2)64 规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基 本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可 以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. 【训练1】 (1)设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为________. (2)(2017·合肥模拟)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为 数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2.a3+4构成 等差数列,则an=________. 解析 (1)由已知条件,得 2Sn=Sn+1+Sn+2, 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即aann+ +21=-2. ??a1+a2+a3=7, (2)由已知得:???(a1+3)+2 (a3+4)=3a2. 解得 a2=2.设数列{an}的公比为 q,由 a2=2,可得 a1=2q,a3= 2q.又 S3=7,可知2q+2+2q=7,即 2q2-5q+2=0,解得 q1=2, q2=12.由题意得 q>1,所以 q=2,所以 a1=1. 故数列{an}的通项为 an=2n-1. 答案 (1)-2 (2)2n-1 考点二 等比数列的性质及应用 【例 2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足 a1=14,a3a5= 4(a4-1),则 a2 等于( ) 1 1 A.2 B.1 C.2 D.8 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若SS63=3,则SS96=( ) 7 8 A.2 B.3 C.3 D.3 解析 (1)由{an}为等比数列,得 a3a5=a24,所以 a24=4(a4-1), 解得 a4=2,设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,得 2=14q3, 解得 q=2,所以 a2=a1q=12.选 C. (2)法一 由等比数列的性质及题意,得 S3,S6-S3,S9-S6 仍成 等比数列,由已知得 S6=3S3,∴S6-S3 S3=SS69- -SS36,即 S9-S6=4S3, S9=7S3,∴SS96=73. 法二 因为{an}为等比数列,由SS63=3,设 S6=3a,S3=a,所以 S3,S6-S3,S9-S6 为等比数列,即 a,2a,S9-S6 成等比数列, 所以 S9-S6=4a,解得 S9=7a,所以SS96=73aa=73. 答案 (1)C (2)B 规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘 隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则 am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件, 有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想 的运用. 【训练 2】 (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3= 2-1, a5= 2+1,则 a23+2a2a6+a3a7=________. (2)已知 x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3 成等比数列,则 xyz 的值为________. 解析 (1)由等比数列性质,得 a3a7=a25,a2a6=a3a5,所以 a23+2a2a6 +a3a7=a23+2a3a5+a25=(a3+a5)2=( 2-1+ 2+1)2=(2 2)2=8. (2)∵-1,x,y,z,-3 成等比数列,∴y2=xz=(-1)×(-3)=3, 且 x2=-y>0,即 y<0,∴y=- 3,xz=3,∴xyz=-3 3. 答案 (1)8 (2)-3 3 考点三 等比数列的判定与证明 【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,在数列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1(n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,∴aan+n-1-11=12, ∴{an-1}是等比数列.又 a1+a1=1,∴a1=12, 又 cn=an-1,首项 c1=a1-1,∴c1=-12,公比 q=12. ∴{cn}是以-12为首项,以12为公比的等比数列. (2)解 由(1)可知 cn=???-12???·???12???n-1=-???12???n, ∴an=cn+1=1-???12???n. ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-???12???n-???1-???12???n-1??? =???12???n-1-???12???n=???12???n. 又 b1=a1=12代入上式也符合,∴bn=???12???n. 规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比 中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若 证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不 成等比数列即可. 【训练 3】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan, 其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5=3312,求 λ. (1)证明 由题意得 a1=S1=1+λa1,故 λ≠1,a1=1-1 λ,a1≠0. 由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得 an+1=λan+1-λan, 即 an+1(λ-1)=λ an,由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,所以aan+n 1=λ-λ 1. 因此{an}是首项为1-1 λ,公比为λ-λ 1的等比数列, 于是 an=1-1 λ????λ-λ 1????n-1. (2)解 由(1)得 Sn=1-????λ-λ 1????n. 由 S5=3312得 1-????λ-λ 1????5=3312,即????λ-λ 1????5=312. 解得 λ=-1. [思想方法] 1.等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求 二”,通过列方程(组)求关键量 a1 和 q. 2.已知等比数列{an} (1)数列{c·an}(c≠0),{|an|},{a2n},???a1n???也是等比数列. (2)a1an=a2an-1=…=aman-m+1. [易错防范] 1.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证a1≠0. 2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与 q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解 题失误. 编后语 ? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。 ? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。 ? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。 ? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等,这些用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网 ? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。 ? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面 的内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网 ? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。 2019/7/12 最新中小学教学课件 30 谢谢欣赏! 2019/7/12 最新中小学教学课件 31
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可问春风

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