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高考数学公式大全完整版)

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高考数学公式大全完整版)。肄高中数学常用公式及常用结论 袂 1. 元素与集合的关系 腿 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 芃 2.德摩根公式 芁 CU ( A B) ? CU


肄高中数学常用公式及常用结论 袂 1. 元素与集合的关系 腿 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 芃 2.德摩根公式 芁 CU ( A B) ? CU A CU B;CU ( A B) ? CU A CU B . 艿 3.包含关系 袈 4.容斥原理 莃 ? card(A B) ? card(B C) ? card(C A) ? card(A B C) . 蚁 5.集合{a1, a2 , , an} 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;非空的真子集有 2n –2 个. 肁 6.二次函数的解析式的三种形式 蚆(1)一般式 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; 螇(2)顶点式 f (x) ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0) ; 肂(3)零点式 f (x) ? a(x ? x1)(x ? x2 )(a ? 0) . 葿 7.解连不等式 N ? f (x) ? M 常有以下转化形式 虿? 1 ? 1 . f (x) ? N M ? N 螇 8.方程 f (x) ? 0 在 (k1, k2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k2 ) ? 0 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1, k2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ?? b 2a ? k1 ? k2 2 ,或 f (k2 ) ? 0 且 k1 ? k2 2 ?? b 2a ? k2 . 蒃 9.闭区间上的二次函数的最值 膁 二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ?p, q?上的最值只能在 x ? ? b 处及区 2a 间的两端点处取得,具体如下: 蒈(1)当 a>0 时,若 x ? ? b 2a ? ? p, q?,则 f (x) nmi ?f ( ? ),b (f )x 2a ? mxa mxa (f ),p?(f)q ?; 袇 x ? ? b 2a ? ? p, q?, f (x)max ?max ?f ( p), f (q)? , f (x)min ?min ?f ( p), f (q)? . 袄 (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? b ??p,q? , 则 2a f ( xm) i ?n m?i nf p( )f?, ,q (若) x ? ? b 2a ? ? p, q?,则 f (x)max ? max? f ( p), f (q)? , f (x)min ? min? f ( p), f (q)? . 虿 10.一元二次方程的实根分布 芇依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f (x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 羆 设 f (x) ? x2 ? px ? q ,则 ? p2 ? 4q ? 0 羁(1)方程 f (x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0或 ? ? ??? p 2 ? m ; ? f (m) ? 0 莁(2)方程 f (x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? ?? ? f p (n) 2? ?0 4q ? 0 或 ? ???m ? ? p 2 ? n ? f (m) ??af (n) ? ? 0 0 或 ? f (n) ? 0 ??af (m) ? 0 ; ? p2 ? 4q ? 0 羆(3)方程 f (x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? ? p . ??? 2 ? m 肆 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 莂(1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ??, ? ?,?? ?, ? ?,??,???不同)上含参数 的二次不等式 f (x,t) ? 0( t 为参数)恒成立的充要条件是 f (x,t)min ? 0(x ? L) . 蝿(2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f (x,t) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f (x, t)man ? 0(x ? L) . ?a ? 0 聿(3) f (x) ? ax4 ? bx2 ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ??b ??c ? ? 0 0 ?a ? 0 或 ??b2 ? 4ac ? . 0 膆 12.真值表 螃 p 薁 q 螈非p 芆p或 q 膄p且 q 羈 真 薆 真 莆假 芀真 蚀真 莅 真 莆 假 蚁假 膈真 莈假 蒆 假 肂 真 袀真 膇真 薅假 蒃 假 莈 假 羆真 蚅假 袄假 肀 13.常见结论的否定形式 罿原结论 螅反设词 肁原结论 螂反设词 螈是 袅不是 蒂 至 少 有 一 膀一个也没有 个 蒇都是 羅不都是 袃 至 多 有 一 羁至少有两个 个 芅大于 羅不大于 芃 至 少 有 n 荿至多有( n ?1) 个 个 芈小于 肅不小于 莀 至 多 有 n 肁至少有( n ?1) 个 个 肇对所有 x , 膅成立 螁存在某 x, 蕿不成立 袆 p或q 芄 ?p 且 ?q 膂对任何 x , 芁不成立 衿存在某 x, 莄成立 薃 p且q 蝿 ?p 或 ?q 蚈 14.四种命题的相互关系 蒄原命题 互逆 逆命题 羄若p则q 若q则p 蒁 互 互 莇 互 为 为 互 蒄 否 否 膁 逆 逆 衿 否 否 膆否命题 逆否命题 薄若非p则非q 互逆 若非q则非p 薂 15.充要条件 蚀 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. 腿(2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. 蚄(3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 羂注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 肈 16.函数的单调性 羇(1)设 x1 ? x2 ??a,b?, x1 ? x2 那么 螄 (x1 ? x2)? f (x1) ? f (x2)? ? 0 ? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2 f (x)在?a,b?上是增函数; 莃 (x1 ? x2)? f (x1) ? f (x2)? ? 0 ? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2 f (x)在?a,b?上是减函数. 螀(2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. 螆 17.如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f (x) ? g(x) 也是减 函 数 ; 如 果函 数 y ? f (u) 和 u ? g(x) 在 其对 应 的 定 义域 上 都 是减函 数 , 则 复 合函 数 y ? f [g(x)]是增函数. 袄 18.奇偶函数的图象特征 螄奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 芈 19.若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f (x ? a) ? f (?x ? a) ;若函数 y ? f (x ? a) 是偶函 数,则 f (x ? a) ? f (?x ? a) . 蝿 20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f (x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是 函数 x ? a ? b ;两个函数 y ? f (x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称. 2 2 羃 21. 若 f (x) ? ? f (?x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点 ( a ,0) 对 称 ; 若 2 f (x) ? ? f (x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数. 袁 22.多项式函数 P(x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ? a0 的奇偶性 羀多项式函数 P(x) 是奇函数 ? P(x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 薈多项式函数 P(x) 是偶函数 ? P(x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 肃 23.函数 y ? f (x) 的图象的对称性 节(1)函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) 蚂 ? f (2a ? x) ? f (x) . 莇(2)函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2 肃 ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . 蚃 24.两个函数图象的对称性 膀(1)函数 y ? f (x) 与函数 y ? f (?x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. 肆(2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称. 2m 膃(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 (x) 的图象关于直线 y=x 对称. 莄 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f (x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f (x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f (x ? a, y ? b) ? 0 的图 象. 膂 26.互为反函数的两个函数的关系 葿 f (a) ? b ? f ?1(b) ? a . 薃 27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ? 1 [ f ?1(x) ? b] , 并 不 是 k y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? 1 [ f (x) ? b] 的反函数. k 薁 28.几个常见的函数方程 蚀 (1)正比例函数 f (x) ? cx , f (x ? y) ? f (x) ? f ( y), f (1) ? c . 芈(2)指数函数 f (x) ? ax , f (x ? y) ? f (x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . 蚃(3)对数函数 f (x) ? loga x , f (xy) ? f (x) ? f ( y), f (a) ?1(a ? 0, a ? 1) . 羂(4)幂函数 f (x) ? x? , f (xy) ? f (x) f ( y), f '(1) ? ? . 莂(5)余弦函数 f (x) ? cos x ,正弦函数 g(x) ? sin x , f (x ? y) ? f (x) f (y) ? g(x)g(y) , 羇 f (0) ? 1, lim g(x) ? 1 . x?0 x 肇 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) 莃(1) f (x) ? f (x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; 蝿(2) f (x) ? f (x ? a) ? 0 , 肀或 f (x ? a) ? 1 ( f (x) ? 0) , f (x) 膇或 f (x ? a) ? ? 1 ( f (x) ? 0) , f (x) 螄或 1 ? f (x) ? f 2 (x) ? f (x ? a), ( f (x) ??0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 薁(3) f (x) ? 1 ? 1 ( f (x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f (x ? a) 螈 (4) f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) 1 ? f (x1) f (x2 ) 且 f (a) ? 1( f (x1) ? f (x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 f (x) 的周期 T=4a; 芇(5) f (x) ? f (x ? a) ? f (x ? 2a) f (x ? 3a) ? f (x ? 4a) 膄 ? f (x) f (x ? a) f (x ? 2a) f (x ? 3a) f (x ? 4a),则 f (x) 的周期 T=5a; 罿(6) f (x ? a) ? f (x) ? f (x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a. 薇 30.分数指数幂 m 芇(1) a n ? 1 ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ?1). n am ?m 芁(2) a n ? 1 m (a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ?1). an 蚁 31.根式的性质 莆(1) ( n a )n ? a . 莇(2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 蚂当 n 为偶数时, n an ?| a |? ?a, a ???a, ?0 a? 0 . 腿 32.有理指数幂的运算性质 荿(1) ar ? as ? ar?s (a ? 0, r, s ?Q) . 蒆(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . 肃(3) (ab)r ? arbr (a ? 0,b ? 0, r ?Q) . 袁注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 膈 33.指数式与对数式的互化式 薆 loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 蒄 34.对数的换底公式 艿 loga N ? logm N logm a ( a ? 0 ,且 a ?1, m ? 0,且 m ? 1, N ? 0). 袇推论 logam bn ? n m loga b (a ? 0 ,且 a ?1, m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ?1, N ? 0). 蚆 35.对数的四则运算法则 蚁若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 肁(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 蚆(2) loga M N ? loga M ? loga N ; 螆(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 肂 36.设函数 f (x) ? log m (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b2 ? 4ac .若 f (x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要 单独检验. 蒈 37. 对数换底不等式及其推广 虿 若a ? 0,b ? 0, x ? 0, x ? 1 a ,则函数 y ? logax (bx) 袆 (1)当 a ? b 时,在 (0, 1 a ) 和 ( 1 a , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. 蒃, (2)当 a ? b 时,在 (0, 1 a ) 和 ( 1 a , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. 膀推论:设 n ? m ?1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1,则 蒇(1) logm? p (n ? p) ? logm n . 袆(2) loga m loga n ? loga2 m? 2 n . 袃 38. 平均增长率的问题 蚈如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N(1? p)x . 芆 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 羆 an ? ? ? ? s1, sn ? sn n ?1 ?1, n ? 2 ( 数列{an} 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? an ). 芄 40.等差数列的通项公式 莀 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N *) ; 艿其前 n 项和公式为 肆 ? d 2 n2 ? (a1 ? 1 2 d )n . 莁 41.等比数列的通项公式 肂 an ? a1qn?1 ? a1 q ? qn (n ? N*) ; 肈其前 n 项的和公式为 膅或 sn ? ? ? ? a1 ? an 1? q q ,q ? 1 . ??na1, q ? 1 螂 42.等比差数列?an?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为 ?b ? (n ?1)d, q ? 1 薀 an ? ? ? bqn ?? ? (d ? b)qn?1 q ?1 ? d ,q ; ?1 袇其前 n 项和公式为 ?nb ? n(n ?1)d, (q ? 1) 芅 sn ? ? ???(b d 1? qn ?) 1? q q ?1 ?d 1? q n, (q ? 1) . 膃 43.分期付款(按揭贷款) 节每次还款 x ? ab(1? b)n (1? b)n ?1 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). 薆 44.常见三角不等式 莅(1)若 x ? (0, ? ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2 薄(2) 若 x ? (0, ? ) ,则1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 蚀(3) | sin x | ? | cos x |? 1. 虿 45.同角三角函数的基本关系式 莅 sin2 ? ? cos2 ? ? 1, tan? = sin? , tan? ?cot? ?1. c os? 螁 46.正弦、余弦的诱导公式 ?n n? 蒂 sin( 2 ??) ? ?(?1)2 sin?, ? n?1 ??(?1) 2 co s?, 莈(n 为偶数) 蒅(n 为奇数) ?n 膁 co s (n? ?? 2 )? ?(? ? 1 2) co n?1 ?s , ??(? 1 )2 s i?n , 衿(n 为偶数) 膆(n 为奇数) 薅 47.和角与差角公式 薂 sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ; 薁 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin? sin ? ; 腿 tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? . 1 tan? tan ? 蚅 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin2 ? ? sin2 ? (平方正弦公式); 羃 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin2 ? . 聿 asin? ? bcos? = 定, tan? ? b ). a a2 ? b2 sin(? ??) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决 羈 48.二倍角公式 螅 sin 2? ? 2sin? cos? . 莄 cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ? . 螁 tan 2? ? 2 tan? 1? tan2 ? . 螇 49. 三倍角公式 袄 sin 3? ? 3sin? ? 4sin3 ? ? 4sin? sin(? ?? )sin(? ?? ) . 3 3 蒁 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos? ? 4 cos? ? cos( ?? ) ? cos( ?? ) . 3 3 tan 3? ? 3 tan? ? tan3 ? 1? 3 tan2 ? ? tan? tan(? 3 ?? ) tan(? 3 ?? ) . 艿 50.三角函数的周期公式 蒆函数 y ? sin(? x ??) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ??) ,x∈R(A,ω,? 为常数,且 A≠0, ω>0)的周期T ? 2? ;函数 y ? tan(? x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω,? 为常数,且 A ? 2 ≠0,ω>0)的周期T ? ? . ? 羄 51.正弦定理? 袂 a ? b ? c ? 2R . sin A sin B sin C 羁 52.余弦定理 蕿 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A; 羄 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; 芃 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C . 荿 53.面积定理 芈(1) S ? 1 2 aha ? 1 2 bhb ? 1 2 chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 肄(2) S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B . 2 2 2 蚄(3) S?OAB ? 1 2 (| OA | ? | OB |)2 ? (OA?OB)2 . 膀 54.三角形内角和定理 薈在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B) 蚆 ? C ? ? ? A ? B ? 2C ? 2? ? 2(A ? B) . 22 2 薆 55. 简单的三角方程的通解 肀 sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z,| a |? 1) . 薁 cos x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z,| a |? 1) . 螆 tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z, a ? R) . 蚃特别地,有 螂 sin? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . 莀 cos? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z) . 袆 tan? ? tan ? ?? ? k? ? ? (k ? Z) . 肄 56.最简单的三角不等式及其解集 蒄 sin x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ? arcsin a, 2k? ?? ? arcsin a), k ? Z . 腿 sin x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ?? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . 袅 cos x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . 蒅 cos x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z . 羂 tan x ? a(a ? R) ? x ?(k? ? arctan a, k? ? ? ), k ? Z . 2 袈 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? ? , k? ? arctan a), k ? Z . 2 羅 57.实数与向量的积的运算律 袆设λ、μ为实数,那么 蚄(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; 羁(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; 肅(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 肃 58.向量的数量积的运算律: 肂(1) a·b= b·a (交换律); 蚀(2)( ? a)·b= ? (a·b)= ? a·b= a·( ? b); 膅(3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 蒄 59.平面向量基本定理? 袄如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ1、λ2,使得 a=λ1e1+λ2e2. 葿不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 蕿 60.向量平行的坐标表示?? 袅 设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 芁 53. a 与 b 的数量积(或内积) 蒁 a·b=|a||b|cosθ. 蕿 61. a·b 的几何意义 芅数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 羃 62.平面向量的坐标运算 芀(1)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,则 a+b= (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 虿(2)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,则 a-b= (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 蚆 (3)设 A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? (x2 ? x1, y2 ? y1). 蒁(4)设 a= (x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . 聿(5)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,则 a·b= (x1x2 ? y1 y2 ) . 蝿 63.两向量的夹角公式 螃 cos? ? x1x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22 (a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ). 膃 64.平面两点间的距离公式 螈 d A,B = | AB |? AB ? AB 袈 ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 (A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ). 膄 65.向量的平行与垂直 薁设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 袁 A||b ? b=λa ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 羈 a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 薅 66.线段的定比分公式 ? 莃设 P1(x1, y1) , P2 (x2 , y2 ) , P(x, y) 是线段 P1P2 的分点, ? 是实数,且 P1P ? ?PP2 ,则 薀 ? OP ? tOP1 ? (1? t)OP2 ( t ? 1 1 ?? ). 肈 67.三角形的重心坐标公式 羆△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2 )、C(x3,y3 ),则△ABC 的重心的坐标 是 G( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y2 ? y3 ) . 3 3 螁 68.点的平移公式 ?? x ' 荿 ? ?? y ' ? ? x?h y?k ? ??x ? x' ? h ? ?? y ? y' ? k ? OP' ? OP ? PP' . 肈注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' (x', y' ) ,且 PP' 的坐 标为 (h, k) . 肃 69.“按向量平移”的几个结论 蒂(1)点 P(x, y) 按向量 a= (h, k) 平移后得到点 P' (x ? h, y ? k ) . 膈(2) 函数 y ? f (x) 的图象 C 按向量 a= (h, k) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f (x ? h) ? k . 膈(3) 图象 C ' 按向量 a= (h, k) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f (x) ,则 C ' 的函数 解析式为 y ? f (x ? h) ? k . 蒃 (4) 曲 线 C : f (x, y) ? 0 按 向 量 a= (h, k) 平 移 后 得 到 图 象 C ' , 则 C ' 的 方 程 为 f (x ? h, y ? k) ? 0 . 羀(5) 向量 m= (x, y) 按向量 a= (h, k) 平移后得到的向量仍然为 m= (x, y) . 膀 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 芈设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B,C 所对边长分别为 a,b, c ,则 袄(1) O 为 ?ABC 的外心 ? 2 OA ? 2 OB ? 2 OC . 蚂(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . 肅(3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA?OB ? OB ?OC ? OC ?OA . 蒃(4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 莁(5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 膅 71.常用不等式: 螃(1) a,b ? R ? a2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 薃(2) a, b ? R? ? a ? b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 螁(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0,b ? 0, c ? 0). 羇(4)柯西不等式 袆(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 蚃 72.极值定理 羈已知 x, y 都是正数,则有 虿(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 薅(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 1 s 2 . 4 蚃推广 已知 x, y ? R ,则有 (x ? y)2 ? (x ? y)2 ? 2xy 荿(1)若积 xy 是定值,则当| x ? y | 最大时,| x ? y | 最大; 肇当| x ? y | 最小时,| x ? y | 最小. 莄(2)若和| x ? y | 是定值,则当| x ? y | 最大时, | xy | 最小; 螂当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 螀 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与 ax2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之 间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 蝿 x1 ? x ? x2 ? (x ? x1)(x ? x2 ) ? 0(x1 ? x2 ) ; 膃 x ? x1,或x ? x2 ? (x ? x1)(x ? x2 ) ? 0(x1 ? x2 ) . 袂 74.含有绝对值的不等式 膁当 a> 0 时,有 芇 x ? a ? x2 ? a 2 ? ?a ? x ? a . 膆 x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a . 羂 75.无理不等式 芈(1) f (x) ? ? f (x) ? 0 g(x) ? ? ? g(x) ? 0 . ?? f (x) ? g(x) 罿(2) ? f (x) ? 0 f (x) ? g(x) ? ? ? g ( x) ?? f (x) ? ? 0 [ g ( x)]2 或 ? ? ? f (x) g(x) ? ? 0 0 . 羅(3) ? f (x) ? 0 f (x) ? g(x) ? ? ? g(x) ? 0 . ?? f (x) ? [g(x)]2 肂 76.指数不等式与对数不等式 罿(1)当 a ?1时, a f (x) 螇 ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ; ? f (x) ? 0 肄 loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 . ?? f (x) ? g(x) 蒂(2)当 0 ? a ?1时, a f (x) 莀 ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ; 葿 77.斜率公式 肇k ? y2 x2 ? y1 ? x1 ( P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) ). 薂 78.直线的五种方程 螁(1)点斜式 y ? y1 ? k(x ? x1) (直线 l 过点 P1(x1, y1) ,且斜率为 k ). 羇(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). 袆(3)两点式 y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1 ( y1 ? y2 )( P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). 蚂(4)截距式 x ? y ? 1( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) ab 膂(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 蚈 79.两条直线的平行和垂直 薅(1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 螂① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; 莈② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1. 肆(2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, 莃① l1 || l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2 ; 螂② l1 ? l2 ? A1A2 ? B1B2 ? 0 ; 蝿 80.夹角公式 袈(1) tan? ?| k2 ? k1 | . 1? k2k1 莆( l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 袂(2) tan ? ?| A1B2 ? A2B1 | . A1 A2 ? B1B2 膀( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1A2 ? B1B2 ? 0 ). 芆直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 ? 2 . 膅 81. l1 到 l2 的角公式 羂(1) tan ? ? k2 ? k1 . 1? k2k1 薁( l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 羈(2) tan ? ? A1B2 ? A2B1 . A1 A2 ? B1B2 羄( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1A2 ? B1B2 ? 0 ). 肁直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 ? 2 . 羂 82.四种常用直线系方程 蒆 (1)定点直线系方程:经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P0 (x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. 羇(2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A1x ? B1 y ? C1) ? ?( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. 膁(3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ是 参变量. 聿(4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程 是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ是参变量. 膈 83.点到直线的距离 螆 d ? | Ax0 ? By0 ? A2 ? B2 C | (点 P(x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ?C ? 0 ). 芁 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 蒀设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 袀若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 薅若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 莁 85. ( A1x ? B1 y ? C1)( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 袁设曲线 C : ( A1x ? B1 y ? C1)( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1A2B1B2 ? 0 ),则 莇 ( A1x ? B1 y ? C1)( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 芄 ( A1x ? B1 y ? C1)( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; 莁 ( A1x ? B1 y ? C1)( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分. 节 86. 圆的四种方程 聿(1)圆的标准方程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 . 螈(2)圆的一般方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E2 ? 4F >0). 羃(3)圆的参数方程 ? ? ? x y ? ? a b ? ? r r cos? sin? . 袀 ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 (x ? x1 ) (x? x2 )? ( y? y1 ) ( y? y2 )? (0圆 的 直 径 的 端 点 是 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) ). 罿 87. 圆系方程 薇(1)过点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) 的圆系方程是 肃 ? (x ? x1)(x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 a x? b y? c?0 是 直 线 AB 的方程,λ是待定的系数. 芁(2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ?( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ是待定的系数. 蚁(3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?(x2 ? y2 ? D2x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ是待定的 系数. 莆 88.点与圆的位置关系 莆点 P(x0 , y0 ) 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种 蚂若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 腿 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 荿 89.直线与圆的位置关系 蒆直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种: 肃 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; 袁 d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; 膈 d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb? C 薆其中 d ? . A2 ? B2 蒄 90.两圆位置关系的判定方法 艿设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 袇 d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; 蚆 d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; 蚁 r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; 肀 d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 蚆 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线. 螆 91.圆的切线方程 肁(1)已知圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 蒈①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 蚈 x0 x ? y0 y ? D(x0 ? 2 x) ? E( y0 ? 2 y) ? F ? 0. 袆当 (x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? D(x0 ? 2 x) ? E( y0 ? 2 y) ? F ? 0 表示过两个切点的 切点弦方程. 蒂②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. 膀③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. 蒇(2)已知圆 x2 ? y2 ? r 2 . 袆①过圆上的 P0 (x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 袃②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1? k2 . 蚈 92.椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? ? ? x y ? ? a b cos? sin? . 芆 93.椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 羆 PF1 ? e(x ? a2 c ) , PF2 ? e( a 2 c ? x) . 羀 94.椭圆的的内外部 莀(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1. 肅(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1. 肅 95. 椭圆的切线方程 莁(1)椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ?b ? 0) 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程是 x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1. 袃 (2)过椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ?b ? 0) 外一点 P(x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 膃 x0 x ? y0 y ? 1. a2 b2 芁 (3)椭圆 x2 y2 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 A x? B y? A2 a2? B2 b?2 .c2 C?0 相 切 的 条 件 是 袇 96.双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 蚅 PF1 ?| e(x ? a2 ) | , c PF2 ?| e( a2 c ? x) | . 袂 97.双曲线的内外部 莀(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的内部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1. 芈(2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的外部 ? x02 a2 ? y02 b2 ?1. 肃 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 蚁(1)若双曲线方程为 x 2 a2 ? y2 b2 ? 1 ? 渐近线方程: x2 a2 ? y2 b2 ?0? y??b x. a 莀 (2)若渐近线方程为 y ? ? b x a ? x a ? y b ? 0 ? 双曲线可设为 x a 2 2 ? y2 b2 ??. 虿 (3)若双曲线与 x 2 a2 ? y2 b2 ? 1 有公共渐近线,可设为 x a 2 2 ? y2 b2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 螅 99. 双曲线的切线方程 蚄 (1)双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程是 x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1. 蒀 (2)过双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 外一点 P(x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程 是 螆 x0 x a2 ? y0 y b2 ? 1. 蒇 (3)双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 与直线 A x? B y? C?0 相 切 的 条 件 是 A2a2 ? B2b2 ? c2 . 蒃 100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 薀抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? p. 2 膇过焦点弦长 CD ? x1 ? p 2 ? x2 ? p 2 ? x1 ? x2 ? p. 羅 101.抛物线 y2 ? 2 px 上的动点可设为 P ( y?2 2p , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P (x , y ) ,其 中 y2 ? 2 px . 节 102.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a(x ? b )2 ? 4ac ? b2 (a ? 0) 的图象是抛物线:(1)顶 2a 4a 点坐标为 (? b , 4ac ? b2 ) ;(2)焦点的坐标为 (? b , 4ac ? b2 ?1) ;(3)准线方程是 2a 4a 2a 4a y ? 4ac ? b2 ?1 . 4a 蚀 103.抛物线的内外部 薈(1)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y2 ? 2 px( p ? 0) . 蚆点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y2 ? 2 px( p ? 0) . 羀(2)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y2 ? ?2 px( p ? 0) . 螀点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y2 ? ?2 px( p ? 0) . 羈(3)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 蝿点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 蚈(4) 点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 蒄点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) . 螀 104. 抛物线的切线方程 蒁(1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p(x ? x0 ) . 莇 ( 2 ) 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px 外 一 点 P(x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 y0 y ? p(x ? x0 ) . 薄 (3)抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . 膁 105.两个常见的曲线系方程 袈(1)过曲线 f1(x, y) ? 0 , f2 (x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是 膅 f1(x, y) ? ? f2 (x, y) ? 0 ( ? 为参数). 薄 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 x2 ? y2 ? 1 , 其 中 k ? max{a2 , b2} . 当 a2 ? k b2 ? k k ? min{a2 , b2}时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2, b2} 时,表示双曲线. 薁 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或 蚀 AB ? (1? k 2 )(x2 ? x1)2 ?| x1 ? x2 | 1? tan2 ? ?| y1 ? y2 | 1? co t2 ? ( 弦 端 点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由方程 ?y ? kx ??F(x, y) ? ? b 0 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 ,? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 膈 107.圆锥曲线的两类对称问题 蚄(1)曲线 F(x, y) ? 0 关于点 P(x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . 羂(2)曲线 F(x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是 肈 F(x ? 2A(Ax ? By ? C) , y ? 2B( Ax ? By ? C)) ? 0 . A2 ? B2 A2 ? B2 羇 108.“四线”一方程 螄对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x2 ,用 y0 y 代 y2 , 用 x0 y ? xy0 代 xy ,用 x0 ? x 代 x ,用 y0 ? y 代 y 即得方程 2 2 2 莃 Ax0 x ? B? x0 y ? 2 xy0 ? Cy0 y ? D? x0 ? 2 x ? E? y0 ? 2 y ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中 点弦,弦中点方程均是此方程得到. 螀 109.证明直线与直线的平行的思考途径 螆(1)转化为判定共面二直线无交点; 袃(2)转化为二直线同与第三条直线平行; 蒀(3)转化为线面平行; 芈(4)转化为线面垂直; 薅(5)转化为面面平行. 膁 110.证明直线与平面的平行的思考途径 聿(1)转化为直线与平面无公共点; 膈(2)转化为线线平行; 螆(3)转化为面面平行. 芁 111.证明平面与平面平行的思考途径 蒀(1)转化为判定二平面无公共点; 蚅(2)转化为线面平行; 薅(3)转化为线面垂直. 莁 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 袁(1)转化为相交垂直; 莇(2)转化为线面垂直; 芃(3)转化为线与另一线的射影垂直; 莁(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 芁 113.证明直线与平面垂直的思考途径 螅(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; 莆(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; 蒁(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; 蒈(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; 蒇(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 肅 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 薀(1)转化为判断二面角是直二面角; 衿(2)转化为线面垂直. 艿 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 袄(1)加法交换律:a+b=b+a. 羀(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 蕿(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 肆 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 羂始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 肀 117.共线向量定理 羀对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb. 螈 P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1? t)OA ? tOB . 羅 AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线. 膀 118.共面向量定理 肇向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by . 膆推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB , 螄或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB . 艿 119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 O P ? x O A? y O B? z O C ( x ? y ? z ? k ),则当 k ?1时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面. 蒈 A、B、C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? x AB ? y AC ? 袈 OD ? (1? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ?平面 ABC). 薃 120.空间向量基本定理 薃如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 衿推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 蚆 121.射影公式 袆已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A' ,作 B 点在 l 上的射影 B' ,则 肄 A'B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e 蚀 122.向量的直角坐标运算 莈设 a= (a1, a2 , a3 ) ,b= (b1, b2 , b3 ) 则 蚅(1)a+b= (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 肃(2)a-b= (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 肁(3)λa= (?a1, ?a2 , ?a3) (λ∈R); 袆(4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 蒄 123.设 A (x1, y1, z1) ,B (x2 , y2 , z2 ) ,则 膃 AB ? OB ? OA = (x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1) . 膈 124.空间的线线平行或垂直 r r 薈设 a ? (x1, y1, z1) , b ? (x2, y2, z2 ) ,则 芃 rr a Pb ? r a ? rr ?b(b ? r 0) ? ? x1 ? ? y1 ? ? ? x2 ? y2 ; ??z1 ? ? z2 r r rr 芃 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . 蕿 125.夹角公式 肆设 a= (a1, a2 , a3 ) ,b= (b1, b2 , b3 ) ,则 芆 cos〈a,b〉= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32 莃推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ,此即三维柯西不等式. 羀 126. 四面体的对棱所成的角 螇四面体 ABCD中, AC 与 BD 所成的角为? ,则 肅 cos? ? | ( AB2 ? CD2 ) ? (BC 2 ? DA2 ) | . 2AC ? BD 羅 127.异面直线所成角 rr 袂= |ra ? br| ? |a|?|b| | x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 | x12 ? y12 ? z12 ? x22 ? y22 ? z22 rr 蚇(其中?( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a,b 所成角,a, b 分别表示异面直线 a,b 的方向向量) 芅 128.直线 AB 与平面所成角 羅 ? ? arc sin AB ? m ( m 为平面? 的法向量). | AB || m | 罿 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面? 成的角? ,另两边 AC , BC 与平面? 成的角分别是?1 、? 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则 荿 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B) sin2 ? . 肄特别地,当 ?ACB ? 90 时,有 肅 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 莀 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面? 成的角? ,另两边 AC , BC 与平面? 成的角分别是?1 、? 2 , A'、B' 为 ?ABO 的两个内角,则 袇 tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? . 肇特别地,当 ?AOB ? 90 时,有 膄 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 螁 131.二面角? ? l ? ? 的平面角 蕿? ? arc cos m ? n 或? ? arc cos m ? n ( m , n 为平面? , ? 的法向量). | m || n | | m || n | 袆 132.三余弦定理 芄设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为?1 ,AB 与 AC 所成的角为? 2 ,AO 与 AC 所成的角为? .则 cos? ? cos?1 cos?2 . 膂 133. 三射线定理 肂若夹在平面角为? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1 ,? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2 sin?1 sin?2 cos? ; 蚀 |?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ??2 ) (当且仅当? ? 90 时等号成立). 葿 134.空间两点间的距离公式 蚈若 A (x1, y1, z1) ,B (x2 , y2 , z2 ) ,则 螄 d A,B = | AB |? AB ? AB ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ? (z2 ? z1)2 . 螃 135.点 Q 到直线 l 距离 葿 h ? 1 (| a || b |)2 ? (a ?b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 |a| b= PQ ). 螅 136.异面直线间的距离 薆 d ? | CD ? n |n| | ( l1, l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1, l2 上任一点,d 为 l1, l2 间的距离). 蒂 137.点 B 到平面? 的距离 蕿 d ? | AB ? n | ( n 为平面? 的法向量, AB 是经过面? 的一条斜线, A?? ). |n| 膆 138.异面直线上两点距离公式 羄 d ? h2 ? m2 ? n2 2mncos? . 芁 d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos EA', AF . 虿 d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? (? ? E ? AA' ? F ). 蚇 (两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F, A'E ? m , AF ? n , EF ? d ). 蚆 139.三个向量和的平方公式 肀 140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为?1、?2、?3 ,则有 蝿 l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 . 肈(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 蒄 141. 面积射影定理 莃S ? S' . cos? 腿(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为? ). 蒅 142. 斜棱柱的直截面 膆已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和V斜棱柱 ,它的直截面的周长和 面积分别是 c1 和 S1 ,则 膂① S斜棱柱侧 ? c1l . 艿②V斜棱柱 ? S1l . 袆 143.作截面的依据 蚃三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 羁 144.棱锥的平行截面的性质 荿如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 芆 145.欧拉定理(欧拉公式) 莅V ? F ? E ? 2(简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). 羃(1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与 棱数 E 的关系: E ? 1 nF ; 2 葿(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 1 mV . 2 蚇 146.球的半径是 R,则 袃其体积V ? 4 ? R3 , 3 膄其表面积 S ? 4? R2 . 羁 147.球的组合体 薀 (1)球与长方体的组合体: 羇长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 羃 (2)球与正方体的组合体: 肀正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. 蚇 (3) 球与正四面体的组合体: 蒅棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 a ,外接球的半径为 6 a . 12 4 螂 148.柱体、锥体的体积 V 膀 柱体 ? 1 3 Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). V 肈 锥体 ? 1 3 Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 膇 149.分类计数原理(加法原理) 螅 N ? m1 ? m2 ? ? mn . 芀 150.分步计数原理(乘法原理) 葿 N ? m1 ? m2 ? ? mn . 蚅 151.排列数公式 薄 Anm = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = (n n! .( ? m)! n , m ∈N*,且 m ? n ). 莀注:规定 0!? 1. 袀 152.排列恒等式 莆(1) Anm ? (n ? m ? 1) Am?1 n ; 芃(2) Anm ? n n?m Am n?1 ; 蒅(3) Anm ? nAnm??11 ; 莆(4) nAnn ? An?1 n ?1 ? Ann ; 袀(5) Am n?1 ? Anm ? mAnm?1 . 蒁(6) 1!? 2? 2!? 3?3!? ? n ? n! ? (n ?1)!?1. 薅 153.组合数公式 薃 C m n = Anm Amm = n(n ?1)?(n ? m 1? 2??? m ? 1) = n! ( m!? (n ? m)! n ∈N*, m? N ,且 m ? n ). 薂 154.组合数的两个性质 膀(1) C m n = C n?m n ; 蚅(2) C m n + C m?1 n = C m n ?1 . 羄注:规定 C 0 n ? 1. 莃 155.组合恒等式 羈(1) Cnm ? n ? m m ? 1 C m?1 n ; 螅(2) Cnm ? n n ? m Cm n?1 ; 莄(3) Cnm ? n m C m?1 n?1 ; n ? 螁 (4) C r n = 2n ; r?0 螇(5) C r r ? C r r ?1 ? C r r?2 ? ? ? C r n ? C r?1 n?1 . 芇(6) C 0 n ? C 1 n ? C 2 n ? ? ? C r n ? ? ? C n n ? 2n . 膇(7) C 1 n ? C 3 n ? C 5 n ?? ? C 0 n ? C 2 n ? C 4 n ? ?2n?1 . 羅 (8) C 1 n ? 2Cn2 ? 3C 3 n ? ? ? nCnn ? n2n?1 . 节(9) C r m C 0 n ? C mr ?1C 1 n ? ? ? C m0 r C r n ? C r m ?n . 莆(10) (C 0 n ) 2 ? (C 1 n ) 2 ? (Cn2 ) 2 ? ? ? (Cnn )2 ? C n 2n . 莄 156.排列数与组合数的关系 莃 Anm ? m!? Cnm . 羁 157.单条件排列 蒆以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. 螅(1)“在位”与“不在位” 膅①某(特)元必在某位有 A m ?1 n?1 种;②某(特)元不在某位有 Anm ? Am ?1 n ?1 (补集思想) ? An1 ?1 Am ?1 n ?1 (着眼位置) ? Anm?1 ? Am1 ?1 Am ?1 n ?1 (着眼元素)种. 螀(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) 袀①定位紧贴: k(k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Akk Am?k n?k 种. 膆②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 A A n?k ?1 k n?k ?1 k 种.注:此类问题 常用捆绑法; 薃③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ?1),把它们合在一起来作全排列,k 个的一 组互不能挨近的所有排列数有 Ahh Ahk?1 种. 螃(3)两组元素各相同的插空 芀 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 袇当 n ? m ?1时,无解;当 n ? m ?1时,有 Amn ?1 Ann ? C n m?1 种排法. 蚅(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cn m?n . 袂 158.分配问题 莀(1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N ? C n mn ? C n mn?n ? C n mn?2 n ? ? ? C n 2n ? C n n ? (mn)! (n!)m . 芈(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分 配方法数共有 肃N ? Cmn n ? Cn mn?n ? Cmn n ? 2 n ... ? C2nn ? Cnn m! ? (mn )! m!(n!)m . 蚁(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 + +nm ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则 其分配方法数共有 N ? C n1 p ? C n2 p? n1 ...Cnnmm ? m!? p!m! n1!n2!...nm! . 莀(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 + +nm ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、…个相等,则其分配方法数有 N ? C n1 p ? C n2 p? n1 ...Cnnmm ? m! ? p!m! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a!b!c!...) 莅(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 + +nm ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数 有N ? p! . n1!n2!...nm! 螅(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 + +nm ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等, 则其分配方法数有 N ? p! . n1!n2!...nm!(a!b!c!...) 蒀(7)(限定分组有归属问题)将相异的 p( p ? n1+n2 + +nm )个物体分给甲、乙、丙,…… 等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 , n2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 蒀N ? C n1 p ? C n2 p? n1 ...Cnnmm ? p! . n1!n2!...nm! 螆 159.“错位问题”及其推广 节贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为 111 蒃 f (n) ? n![ ? ? ? ? (?1)n 1 ] . 2! 3! 4! n! 薀推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 薆 ? n![1? Cm1 ? Cm2 ? Cm3 ? Cm4 ? An1 An2 An2 An4 ? (?1)p Cmp Anp ? ? (?1)m Cmm Anm ] . 芄 160.不定方程 x1+x2 + +xn ? m 的解的个数 薁(1)方程 x1+x2 + +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 Cn?1 个. m?1 罿(2) 方程 x1+x2 + +xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 Cn?1 个. n?m?1 羇(3) 方程 x1+x2 + +xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N? , 2 ? i ? n ?1) 的非负整数解有 C n?1 m?1 ?( n?2)( k ?1) 个. 螂(4) 方程 x1+x2 + +xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N? , 2 ? i ? n ?1) 的正整数解有 Cn?1 ? C1 Cn?1 ? C2 Cn?1 ? ? (?1)n?2 Cn?2Cn?1 个. n?m?1 n?2 m?n?k?2 n?2 m?n?2k?3 n?2 m?1?( n?2) k 莀 161.二项式定理 (a ? b)n ? Cn0 a n ? Cn1a n?1b ? Cn2 a n?2b 2 ? ? ? Cnr a n?r b r ? ? ? C n n b n ; 聿二项展开式的通项公式 T 肄 r ?1 ? C r n a n?r b r (r ? 0,1,2?,n) . 蒃 162.等可能性事件的概率 腿 P( A) ? m . n 腿 163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 蒄 P(A+B)=P(A)+P(B). 羁 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 膁 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 艿 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 袅 P(A·B)= P(A)·P(B). 蚃 166.n 个独立事件同时发生的概率 膈 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 薆 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 蒄 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 艿(1) Pi ? 0(i ? 1, 2, ) ; 袇(2) P1 ? P2 ? ? 1 . 蚆 169.数学期望 袅 170.数学期望的性质 肁(1) E(a? ? b) ? aE(? ) ? b . 羀(2)若? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . 螆(3) 若? 服从几何分布,且 P(? ? k) ? g(k, p) ? qk?1 p ,则 E? ? 1 . p 肂 171.方差 螃 172.标准差 虿?? = D? . 螆 173.方差的性质 蒃(1) D?a? ? b? ? a2D? ; 螅(2)若? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1? p) . 肂(3) 若? 服从几何分布,且 P(? ? k) ? g(k, p) ? qk?1 p ,则 D? ? q p2 . 蒀 174.方差与期望的关系 蒈 D? ? E? 2 ? ? E? ?2 . 蒇 175.正态分布密度函数 袁 f ?x? ? 1 ? x?? ?2 ? e 262 , x ????, ??? ,式中的实数μ,? (? >0)是参数,分别表 2? 6 示个体的平均数与标准差. 薀 176.标准正态分布密度函数 衿 f ?x? ? 1 ? e x2 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 羅 177.对于 N (?,? 2 ) ,取值小于 x 的概率 袄 F ? x ? ? ? ? ?? x ? ? ? ? ?? . 蚀 ? ? ? ?? x2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? x1 ? ? ? ? ?? . 羆 178.回归直线方程 ? ? ? ? n n ? xi ? x ?? yi ? y ? xi yi ? nx y ? ?b ? i?1 蚇 y ? a ? bx ,其中 ? ? n ? xi ? x ?2 ? i ?1 ?a ? y ? bx ? ? i?1 n xi2 ? nx 2 . i ?1 蚃 179.相关系数 n n ?? xi ? x ?? yi ? y ? ?? xi ? x ?? yi ? y ? 螀 r? i ?1 ? i ?1 . n n n n ? ? (xi ? x )2 ( yi ? y)2 ? ? ( xi2 ? nx 2 )( yi2 ? ny 2 ) i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 莇|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 膀 180.特殊数列的极限 ?0 蒇(1) lim qn ? ??1 n?? ??不存在 | q |? 1 q ?1 . | q |? 1或q ? ?1 袅(2) lim ak nk ? ak?1nk?1 ? n?? bt nt ? bt?1nt?1 ? ?0 ? ? a0 ? b0 ? ? ? ? at bk ??不存在 (k ? t) (k ? t) . (k ? t) ? ? ? ? 袃(3) S ? lim a1 1? qn n?? 1? q ? a1 ( S 无穷等比数列 1? q a1qn?1 (| q |? 1)的和). 羂 181. 函数的极限定理 薀 lim f (x) ? a ? lim f (x) ? lim f (x) ? a . x?x0 x?x0? x?x0? 羅 182.函数的夹逼性定理 芄如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: 荿(1) g(x) ? f (x) ? h(x) ; 艿(2) lim g(x) ? a, lim h(x) ? a (常数), x?x0 x?x0 肅则 lim f (x) ? a . x?x0 蚅本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 肁 183.几个常用极限 肇(1) lim 1 ? 0 , lim an ? 0 (| a |? 1); n?? n n?? 膅(2) lim x ? x0 x ? x0 , lim x ? x0 1 x ? 1 x0 . 罿 184.两个重要的极限 螇(1) lim sin x ? 1; x?0 x 肄(2) lim x?? ???1 ? 1 x ?x ? ? ? e (e=…). 蒂 185.函数极限的四则运算法则 莀若 lim f (x) ? a , lim g(x) ? b ,则 x?x0 x?x0 葿(1) lim x ? x0 ?? f ? x? ? g ? x ? ?? ? a ? b ; 肇(2) lim x ? x0 ?? f ?x?? g ? x??? ? a ?b ; 薂(3) lim x?x0 f g ?x? ?x? ? a b ?b ? 0? . 螁 186.数列极限的四则运算法则 羇若 lim n?? an ? a, lim n?? bn ?b ,则 袆(1) lim n?? ? an ? bn ? ? a ? b ; 芇(2) lim n?? ? an ? bn ? ? a ? b ; 螆(3) lim an ? a ?b ? 0? b n?? n b ? ? 芃(4) lim n?? c ? an ? lim n?? c ? lim n?? an ? c?a( c 是常数). 腿 187. f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) 芇 f ?(x0 ) ? y? x ? x0 ? ?y lim ?x?0 ?x ? lim ?x?0 f ( x0 ? ?x) ? ?x f (x0 ) . 膇 188.瞬时速度 蚁? ? s?(t) ? lim ?s ? lim s(t ? ?t) ? s(t) . ?t ?t ?0 ?t ?0 ?t 节 189.瞬时加速度 莆 a ? v?(t) ? lim ?v ? lim v(t ? ?t) ? v(t) . ?t ?t?0 ?t ?0 ?t 190. f (x) 在 (a,b) 的导数 f ?(x) ? y? ? dy ? df ? lim ?y ? lim f (x ? ?x) ? f (x) . dx dx ?x?0 ?x ?x?0 ?x 191. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函 数 y ? f (x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f (x) 在 P(x0, f (x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 f ?(x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?(x0 )( x ? x0 ) . 192.几种常见函数的导数 (1) C? ? 0 (C 为常数). (2) (xn )' ? nxn?1(n ? Q) . (3) (sin x)? ? cosx . (4) (cosx)? ? ?sin x . (5) (ln x)? ? 1 x ; (log ax )? ? 1 x log e a . (6) (ex )? ? ex ; (ax )? ? ax ln a . 193.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u' ? v' . (2) (uv)' ? u'v ? uv' . (3) (u )' v ? u'v ? uv' v2 (v ? 0) . 194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ?(x) 在点 x 处有导数 ux' ? ? ' (x) ,函数 y ? f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有 导数 yu ' ? f ' (u) , 则 复 合 函 数 y? f (? ( x))在 点 x 处有导数,且 yx' ? yu' ? u ' x , 或 写 作 f ' x (? ( x)) ? f ' (u)? ' (x) . 195.常用的近似计算公式(当 x 充小时) (1) 1 ? x ? 1 ? 1 x ; n 1 ? x ? 1 ? 1 x ; 2 n (2) (1? x)? ? 1?? x(? ? R) ; 1 ? 1 ? x ; 1? x (3) ex ? 1? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度); (6) tan x ? x ( x 为弧度); (7) arctanx ? x ( x 为弧度) 196.判别 f (x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,则 f (x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,则 f (x0 ) 是极小值. 197.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c,b ? d .( a,b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ?bi 的模(或绝对值) | z | =| a ? bi | = a2 ? b2 . 199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ? ac c2 ? bd ?d2 ? bc c2 ? ? ad d2 i(c ? di ? 0) . 200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1, z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: (z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? (z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? (z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ). 202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则 OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? z2 z1 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ为非 零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 , ①若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ?b ? b2 ? 4ac ; 2a ②若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? b 2a ; ③若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭 复数根 x ? ?b ? ?(b2 ? 4ac)i (b2 ? 4ac ? 0) . 2a
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