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江苏省海门市东洲国际学校高三数学二轮复习:微专题13 不等式恒成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区

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江苏省海门市东洲国际学校高三数学二轮复习:微专题13 不等式恒成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。微专题 13 不等式恒成立问题 [来源:学科网] 例 1 已知函数 f(x)=aexx在 x=0 处的切线方程为 y=x. (1) 求实数 a 的值; (2) 若对任意的 x∈(0,2),都有 f(x


微专题 13 不等式恒成立问题 [来源:学科网] 例 1 已知函数 f(x)=aexx在 x=0 处的切线方程为 y=x. (1) 求实数 a 的值; (2) 若对任意的 x∈(0,2),都有 f(x)<k+21x-x2成立,求实数 k 的取值范围. 【思维引导】求参数 k 的取值范围,常用的方法是将参数进行分离,然后将问题转化为求相应 的函数的最值. 例 2 已知函数 f(x)=ex-a(x+1). (1) 若对任意的 x∈R,f(x)≥0 恒成立,求正实数 a 的取值范围; (2) 设 g(x)=f(x)+eax,且 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线 y=g(x)上 任意的两点,若对任意的 a≤-1,直线 AB 的斜率恒大于常数 m,求 m 的取值范围. 利 用导数解决不 等式恒成立问题的两种常用方法: (1) 分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数 的最值,根据要求求得取值范围. 对于恒成立问题:①k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max;②k≤f(x)恒成立 k≤f(x) . min [来源:Z。xx。k.Com] 对于存在性问题:①存在 x 使得 k≥f(x) k≥f(x)min;②存在 x 使得 k≤f(x) k≤f(x)max. (2) 函数思想法:将不等式转化为含某待求参数的函数的最值 问题,利用导数 求该函数的极值 (最值), 然后构建不等式求解. 1. 已知函数 f(x)=-x2+(2a-1)x+3 在[1,2]上的值恒为正,那么 a 的取值范围是________. 2. 若 f(x)=-12x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是单调减函 数,则 b 的取值范围是________. 3. 若不等式t2+t 2≤a≤t+t22在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是________. 4. 若不等 式 2x-1>m(x 2-1)对一切 m∈[-2,2]都成立,则实数 x 的取值范围为________. 5. 已知函数 f(x)=ex-1-1-alnx,若对任意的 x∈[1,+∞),f(x)≥0 恒成立,则实数 a 的取值范 围是________. 6. 若不等式 logax>sin2x(a>0 且 a≠1)对于任意的 x∈??0,π4 ??都成立,则实数 a 的取值范围为 ________ . 7. 已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3. (1) 若对任意的 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 求证:对任意的 x∈(0,+∞),lnx>e1x-e2x恒成立. [来源:学*科*网 Z*X*X*K] [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 8. 设函数 f(x)=ax+xlnx,g(x) =x -x -3. 3 2 [来源:学科网 ZXXK] (1) 如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (2) 如果对于任意的 s,t∈ ??12,2??,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.
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