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北京快3开奖到什么时候停,【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学:用三角形法则与平行四边形法则解向量_高一数学_数学_高中教育_教育专区

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高中数学 巧用三角形法则与平行四边形法则解向量问题 编稿老师 王应祥 一校 杨雪 二校 安宁 审核 隋冬梅 1. 三角形法则 (1)向量加法的三角形法则要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的 终点为起点。北京快3开奖到什么时候停可以推广到 n 个向量相加的情况: AB ? BC ? CD ? DE ? AE (注意字母必 须首尾顺次连接首尾)。 (2)向量减法的三角形法则,可以归纳为“共起点,箭头由减数指向被减数”。北京快3开奖到什么时候停 2. 平行四边形法则 ? ? 如图,作 OA ? a,OB ? b, 以 OA ,OB 为边作平行四边形 OACB,连接 BA,则 BA ? a ? b, OC ? a ? b 3. 几何意义:一般地| a + b |≤| a |+| b |; 当 a 与 b 不共线时,| a + b | ? | a |+| b |; 当 a 与 b 共线且同向时,| a + b |=| a |+| b |; 当 a 与 b 共线且反向时,| a + b |=|| a |—| b ||。 例题 1 已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, AC ? c, BC ? b ,则| a ? b ? c | 为 () A. 0 B. 3 C. 2 D. 2 2 解析:由正方形的边长为 1,可得正方形的对角线 AC 长为 2 ,| a ? b ? c | ? AB ? BC ? AC ? AC ? AC ? 2 AC ? 2 2 答案:D 点拨:题目若用数量积公式,显然运算量大,而利用加法的几何意义,则迎刃而解。 例题 2 已知 a ? b ? a ? b ,求 a与a ? b 的夹角。 解析:根据三角形法则,设 OA ? a,OB ? b, 由 a ? b ? a ? b 可知 ?OAB 是等边三角 形,由平行四边形法则且 a ? b ,则可知 a ? b 平分 ?BOA ,所以 a与a ? b 的夹角为 30°。 1 点拨:考虑到向量的模为线段的长度及三角形减法的几何意义, a ? b ? a ? b 可推 出三角形是等边三角形,是解决问题的关键。北京快3开奖到什么时候停 例 题 3 已 知 △ABC 和 点 M 满 足 M A? M B? M C?0 , 若 存 在 实 数 m 使 得 A B? A C? m A M成立,则 m=________。 解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D, 则 AM = 2 AD ,① 3 因为 AD 为中线,则 AB ? AC ? 2AD ? mAM ,即 2AD ? mAM ②, 联立①②可得 m=3。 答案:3 点拨:本题考查平面向量基本定理及向量的加法法则,解题的关键是确定点 M 是△ABC 的重心。 向量法突破三点共线问题 1. 若点 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内的任意一点,则 OP = 1 ( OA + OB ),如图所 2 示。 2. 三点共线的性质定理: (1)若平面上三点 A、B、C 共线,则 AB =λ BC 。北京快3开奖到什么时候停 (2)若平面上三点 A、B、C 共线,O 为不同于 A、B、C 的任意一点,则 OC =λ OA + μ OB ,且 ?, ? ? R ,λ+μ=1。 【满分训练】 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?(AB ? AC) ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的______心。 解析:设 BC 中点为 D,则 AD 为△ABC 中 BC 边上的中线且 AB ? AC ? 2AD , ∵ OP ? OA ? ?(AB ? AC) , OP ? OA ? ?(AB ? AC), AP ? ?(AB ? AC) ? 2? AD , ? AP / / AD ,∴A、P、D 三点共线,所以点 P 一定过△ABC 的重心。 答案:重 点拨:题目主要考查向量共线的充要条件及向量加法、减法的运算,注意到运算的几何 意义是解决问题的关键。 2 (答题时间:30 分钟) 1. 若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A. EF ? OF ? OE B. EF ? OF ? OE C. EF ? ?OF ? OE D. EF ? ?OF ? OE 2. 设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC2 =16, AB ? AC = AB ? AC , |则 AM |等于( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP = OA +λ ( AB ? AC ), ? ?[ 0, ? ? ) ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) | AB | | AC | A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. 点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v ? (4, ?3) (即点 P 的运动方向与 v 相同, 且每秒移动的距离为 v 个单位),设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐 标为( ) A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 5. 设平面向量 a1 、a2 、a3 的和为零向量,如果向量 b1 、b2 、b3 ,满足 bi ? 2 ai ,且 ai 顺时 针旋转 30o 后与 bi 同向,其中 i ?1, 2,3 ,则( ) A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0 B. b1 ? b2 ? b3 ? 0 C. b1 ? b2 ? b3 ? 0 D. b1 ? b2 ? b3 ? 0 6. 如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? x AB ? y AC ,则 x=______, y=_______。北京快3开奖到什么时候停 7. a ? 5, b ? 12,则 a ? b 的最小值为________, a ? b 的最大值为________。 8. 在矩形 ABCD 中,| AB |=1, AD =2,设 AB ? a, BC ? b, BD ? c 则|a+b+c|= ________。 9. 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速 度大小为 4km/h,求水流的速度。 10. 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则△ABC 的形状为________。北京快3开奖到什么时候停 11. 如设点 O 在△ABC 内部,且有 4OA ? OB ? OC =0,求△ABC 与△OBC 的面积之 比。 12. 设 G、H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且 GH ? ?AB (λ∈R)。 (1)求点 C(x,y)的轨迹 E 的方程; 3 (2)过点(2,0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M、N 两点,设 OP ? OM ? ON ,是否 存在这样的直线 L,使四边形 OMPN 为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说 明理由。 4 1. B 解析:由减法的三角形法则知 EF ? OF ? OE 。 2 2. C 解析:由 BC ? 16, BC ? 4, AB ? AC ? AB ? AC ? CB ? 4 ,而 AB ? AC ? 2 AM , AM ? 2。 3. B 解析: AB 表示 AB 方向上的单位向量, AC 表示 AC 方向上的单位向量, | AB | | AC | AB ? AC 在∠BAC 的平分线上,故 P 点的轨迹过三角形的内心。 | AC | | AC | 4. C 解析:设 5 秒后点 P 运动到点 A,则 PA ? PO ? OA ? 5V ? (20, ?15) , ∴ OA ? (20, ?15) ? (?10,10) =(10,-5)。 5. D 解析:方法一:∵ a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2a2 ? 2a3 ? 0. 故把 2 ai (i=1,2,3),分 别按顺时针旋转 30 ? 后与 bi 重合,故 b1 ? b2 ? b3 ? 0 ,应选 D。 方法二:令 a1 = 0 ,则 a2 = ?a3 ,由题意知 b2 = ?b3 ,从而排除 B,C,同理排除 A,故 选 D。 6. 1+ 3 3 解析:作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于 F,设 AB=AC=1? BC=DE= 2 , 22 ∵∠DEB=60°,∴BD= 6 ,由∠DBF=45°, 2 得 DF=BF= 6 × 2= 3 ,所以 BF ? 3 AB, FD ? 3 AC 22 2 2 2 所以 AD ? AB ? BF ? FD ? (1? 3 )AB ? 3 AC 2 2 7. 7 17 解析:由 a ? b ? a ? b ? a ? b ,又 a ? 5, b ? 12,则7 ? a ? b ? 17 故最小值为 7,最大值为 17。 8. 4 解析:根据向量的三角形法则有|a+b+c|= AB ? BC ? BD = 2 AD =4。 9. 解:如图, 设船在静水中的速度为 v1=2 3 km/h,实际航行的速度为 v0=4km/h, 水流的速度为 v2,则由 v12+v22=v02,得(2 3 )2+v22=42,∴v2=±2,取 v2=2km/h, 5 即水流的速度为 2km/h。故答案为:2km/h。 10. 直 角 三 角 形 解 析 : OB ? OC ? 2OA ? OB ? OA ? OC ? OA ? AB ? AC , OB ? OC ? CB ? AB ? AC ,∴ AB ? AC ? AB ? AC 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形。 11. 解:取 BC 的中点 D,连接 OD, 则 OB ? OC ? 2OD ,∵ 4OA ? OB ? OC =0,∴ 4OA ? ?(OB ? OC) = ? 2OD , ∴ OA ? ? 1 OD 。 2 ∴O、A、D 三点共线,且| OD |=2| OA |,∴O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点, ∴S△ABC∶S△OBC=3∶2。 12. 解:(1)由已知得 G( x , y ) ,又 GH ? ? AB ,∴ H ( x , 0) 33 3 ∵CH=HA ∴ (x ? x)2 ? y2 ? ( x)2 ? 4 即 x2 ? y2 ? 1(x ? ?2 3) ; 3 3 12 4 (2)设 l 方程为 y=k(x-2),代入曲线 E 得(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1) =0 设 N(x1,y1),M (x2,y2),则 x1 +x2= 12k 2 3k 2 ? 1 ,x1 x2= 12(k 2 ?1) 3k 2 ?1 ∵ OP ? ON ? OM ,∴ 四边形 OMPN 是平行四边形, 若四边形 OMPN 是矩形,则 ON ? OM , ∴x1 x2+y1 y2=0 ∴ 12(k 2 ?1) 3k 2 ?1 ? k 2 (12(k 2 ?1) 3k 2 ?1 ? 24k 2 3k 2 ?1 ? 4) ? 0 得 k= ? 3 ∴直线 l 为: y ? ? 3(x ? 2) 。 6
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